Como resolver o Binary Diagonals

Preencha cada casa vazia com um quadrado vazado ou um quadrado cheio, de modo que cada linha, cada coluna e cada uma das duas diagonais longas — traçadas de canto a canto da grade — tenha tantos quadrados cheios quanto vazados.

Nunca três iguais seguidos — nem numa linha, nem numa coluna, nem ao longo de nenhuma das duas diagonais.

Toque em uma casa para pôr um quadrado vazado, toque de novo para trocá-lo por um cheio e mais uma vez para deixar a casa vazia.

Ficam em vermelho: três iguais seguidos e os quadrados de um tipo que passou da conta em uma linha, coluna ou diagonal.

Alguns quadrados já vêm no tabuleiro desde o início e não saem do lugar; as outras casas estão vazias, e cabe a você preencher cada uma delas. Só contam as duas diagonais longas — as mais curtas, ao lado delas, não seguem regra nenhuma. O lado do tabuleiro tem um número par de casas, então as duas nunca têm uma casa em comum: elas se cruzam no meio das quatro casas centrais.

Todo tabuleiro tem exatamente uma solução, e dá para chegar a ela sem adivinhar. Se você conhece o Binary, conhece a terceira regra dele, a de que não há duas linhas iguais, nem duas colunas iguais: aqui ela também vale, e nenhum tabuleiro precisa dela.

Três jogadas fazem quase todo o trabalho em qualquer linha ou coluna, e as três saem direto das regras: dois iguais lado a lado decidem as casas dos dois lados, dois iguais com uma casa entre eles decidem essa casa, e uma linha ou coluna que já tem todos os de um tipo leva o outro em todas as casas que sobram.

Ao longo de uma diagonal marcada, a casa “do lado” é a que encosta na anterior pelo canto. Dois iguais em casas vizinhas de uma diagonal formam um par como qualquer outro, e decidem, de cada lado, a casa seguinte da diagonal.

Dois iguais com uma casa da diagonal entre eles não deixam escolha para essa casa, exatamente como numa linha. E tudo o que uma diagonal decide cai também em uma linha e em uma coluna, onde muitas vezes começa a próxima jogada.

Uma diagonal tem o mesmo comprimento de uma linha e precisa manter o mesmo equilíbrio: em um tabuleiro 8 × 8, quatro quadrados vazados e quatro cheios. Quando um dos tipos já tem os seus quatro, todas as outras casas da diagonal ficam com o outro.

Quando os pares, os vãos e a contagem não dizem mais nada, escolha uma linha, uma coluna ou uma diagonal e veja de que maneiras ela ainda pode ser completada. Funciona em qualquer linha ou coluna, e cada um dos tabuleiros maiores pede isso algumas vezes; as diagonais é que muita gente esquece de ler.